Han blev født i Paris i 1928, og hans forældre var russere. Han tilbragte sin barndom i Milano, før han vendte tilbage til den franske hovedstad og senere bosatte sig endeligt i USA. I 1948 mødte han Steichen, Robert Capa og Roy Stryker i New York, og det var Capa, som inviterede ham til at blive en del af Magnum Photos-agenturet i 1953. Siden da har Elliott været medlem af den prestigefyldte gruppe, hvor han ofte påtager sig rollen som direktør.
I 1970 begyndte han at producere film, og han har lavet i alt 17 film i sin karriere, herunder dokumentar, komedie og satire. Han organiserer soloudstillinger i Amerika, Paris, Madrid og London. I løbet af sin karriere har han udgivet mere end 20 bøger.
